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怎样证明数学四边形内角和定理


  四边形内角和定力的证明方法是我们在中考中常常遇见的考点,四边形内角和定力的证明很多同学都认为平时只会用,真的遇到证明这个定理的时候,我们大家却感到困难。那么今天我们学大的专家就为大家带来怎样证明数学四边形内角和定理。

  在一次《多边形的内角和》的课堂上,有一个教学环节是这样设计的:让学生思考任意一个四边形的内角和是多少?用这种方法能否求五边形、六边形等多边形的内角和?[1]而在课堂上,同学们给出了许多种求四边形内角和的方法,虽然有的方法不太适合推广到五边形、六边形,但其中不乏有课前我没有意料到的方法,当然我也没想到学生们会有如此多的方法。为了不打断学生的想法,给学生一个展示自我的机会,更为了拓展学生的思维,我抓住了这一难得的机会,充分让学生展示他们活跃的思维,而把预先准备的一些内容放到了下一节课。我不知道这样做好不好,但至少有一点,学生们主动地进行了观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动,这是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程,增强了学生学习数学的兴趣,使不同的人在数学上得到了不同的发展[2]。下面就一一列举学生们的解法,其中解法一~解法五是预先设计的。

  解法一:如图1,连接AC,四边形ABCD的内角和等于两个三角形内角和的和,即180°×2=360°。

  解法二:如图2,连接AC、BD,四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360°,即180°×4-360°=360°。

  解法三:如图3,在四边形ABCD内取一点P,连接PA、PB、PC、PD,四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360°,即180°×4-360°=360°。

  解法四:如图4,在BC边上取一点P,连接PA、PD,四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180°,即180°×3-180°=360°。

  

 

  解法五:如图5,在四边形ABCD外取一点P,连接PA、PB、PC、PD,四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180°,即180°×3-180°=360°。

  解法六:如图6,连接BD,延长BA至E,延长BC至F,∵∠EAD=∠ABD+∠BDA,∠FCD=∠CBD+∠BDC,∴四边形ABCD的内角和等于(∠EAD+∠BAD)+(∠FCD+∠BCD)=180°+180°=360°。

  解法七:如图7,过点A、D分别作BC的平行线AE、DF,则∠EAB=∠B,∠EAD=∠ADF,∠CDF=∠C,∴四边形ABCD的内角和等于∠BAD+∠EAB+(∠CDF+∠CDA)=∠BAD+∠EAB+∠ADF =∠BAD+∠EAB+∠EAD =360°。

  

 

  解法八:如图8,过点A、D分别作BC的垂线AE、DF,垂足分别为E、F,过点A作DF的垂线AG,垂足为G,则∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°,∵∠AEC=∠B+∠BAE,∠DFB=∠C+∠CDF,∠AGF=∠DAG+∠ADF,∴四边形ABCD的内角和等于∠AEC+∠DFB+∠AGF+∠EAG=90°×4=360°。

  解法九:若AB//CD,则∠B+∠C=∠A+∠D=180°,∴∠B+∠C+∠A+∠D=360°;若AB不平行于CD,如图9,不妨设BA、CD的延长线相交于点E,∵∠BAD=∠E+∠ADE,∠ADC=∠E+∠EAD,∴∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=(∠B+∠C+∠E)+(∠ADE +∠E+∠EAD) =180°+180°=360°。综上可得,四边形ABCD的内角和等于360°

  解法十:连接AC,并延长至G,过点C分别作AD、AB的平行线CE、CF,则∠D=∠DCE,∠DAC=∠ECG,∠BAC=∠FCG,∠B=∠FCB,∴四边形ABCD的内角和=∠B+∠BAC+∠CAD+∠D+∠BCD =∠FCB+∠FCG +∠ECG +∠DCE +∠BCD =360°。

  以上这些证法中,充分发挥了学生的想象力、综合运用知识的能力,很好地训练了学生的思维,体现了“转化”这一重要数学思想方法地灵活运用,这一点对学生的发展很重要,而这也是新课程标准所倡导的。这堂课可能是一节不合格的课,但我还是希望我们数学老师能在课堂上不断探索、试验,大胆创新,只要我们本着新课程的理念,本着以学生的发展为本,相信中国数学教育的未来一定会取得辉煌的成绩。

  参考文献:

  ①义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册,人民教育出版社,2007年6月第2版.

  ②教育部制订.全日制义务教育数学课程标准.北京:北京师范大学出版社,2001.

  针对四边形内角和定理的证明这个常见的考点,我们大家从现在起就应该快速的把它拿下,通过上面怎样证明数学四边形内角和定理的介绍,我们大家现在心中应该会有了一个清晰的理解了。

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